a) Döntse el, hogy az alábbi négy állítás közül melyik igaz és melyik hamis! Válaszát írja a táblázatba! A: Egy 6 pontot tartalmazó teljes gráfnak 15 éle van. B: Ha egy teljes gráfnak páros számú éle van, akkor a pontok száma is páros. C: Ha egy 51 pontú gráfban nincs kör, akkor legfeljebb 50 éle lehet. D: Nincs olyan 6 pontú gráf, amelyben a fokszámok összege 11. A B C D b) Ha valaki sohasem hallott a gráfokról, és mégis kitölti a fenti táblázatot, akkor mekkora valószínűséggel lesz helyes mind a négy válasza? c) Tagadja az alábbi mondatot: Nincs olyan szerelem, aki el nem múlik. (Népdalgyűjtés) d) Fogalmazzon meg egy olyan szöveges feladatot, amelynek a megoldása így számítható ki: 2 17 .

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1116

a) Igazolja, hogy az A(0 1), B(4 2), C(3 6) és D(-5 4) pontokkal megadott négyszög trapéz! b) Kati megrajzolt egy olyan egyszerű teljes gráfot, amelynek 253 éle van, és csúcsai között szerepelnek a trapéz A B C D csúcsai is. Hány új gráfcsúcsot kellett ehhez felvennie? Legfeljebb hány éle törölhető ki ennek a teljes gráfnak, hogy még összefüggő maradjon?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1296

a) A következő két állításról döntse el, hogy igaz vagy hamis. Válaszait indokolja! (1) Van olyan ötpontú egyszerű gráf, amelynek 11 éle van. (2) Ha egy ötpontú egyszerű gráf minden csúcsa legalább harmadfokú, akkor biztosan van negyedfokú csúcsa is. b) Az A, B, C, D és E pontok egy ötpontú teljes gráf csúcsai. A gráf élei közül véletlenszerűen beszínezünk hatot. Mekkora a valószínűsége annak, hogy az A, B, C, D, E pontokból és a színezett élekből álló gráf nem lesz összefüggő?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1408

a) Egy 16 pontú teljes gráf összes élét úgy színeztük ki pirossal vagy sárgával, hogy minden pontból pontosan három piros él induljon ki. A pontok közül véletlensze- rűen kiválasztunk kettőt. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott két pontot piros él köti össze? b) Egy másik teljes gráfból 45 élt elhagyva egy fagráfot kaptunk. Hány pontja van ennek a gráfnak? (A teljes gráf olyan egyszerű gráf, melynek bármely két pontját él köti össze.)

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1476

A H halmaz a nyolcpontú egyszerű gráfok halmaza. A következő állítás a H elemeire vonatkozik: Ha egy (nyolcpontú egyszerű) gráf minden pontjának fokszáma legalább 3, akkor a gráf összefüggő. a) Döntse el, hogy az állítás igaz vagy hamis! Válaszát indokolja! b) Fogalmazza meg az állítás megfordítását a H elemeire vonatkozóan, és döntse el a megfordított állításról, hogy igaz vagy hamis! Válaszát indokolja! Az ABCDE konvex ötszög csúcsait piros, kék vagy zöld színűre színezzük úgy, hogy bármely két szomszédos csúcsa különböző színű legyen. c) Hány különböző színezés lehetséges? (Az ötszög csúcsait megkülönböztetjük egymástól.) Egy négypontú teljes gráf élei közül véletlenszerűen kiválasztott négy élt kiszínezünk zöldre. (Teljes gráf: olyan egyszerű gráf, melynek bármely két pontja között van él.) d) Határozza meg annak a valószínűségét, hogy a zöldre színezett élek a gráf egy négypontú körének élei!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 1540

a) Egy számtani sorozat első tagja 4, differenciája 5. Egy mértani sorozat első tagja 3, hányadosa 2. Az 1000-nél kisebb pozitív egészek közül egyet véletlenszerűen kiválasztunk. Mek- kora a valószínűsége, hogy olyan számot választottunk, amely tagja valamelyik so- rozatnak? Válaszát q p alakban adja meg úgy, hogy p és q pozitív egészek és relatív prímek legyenek! b) Három teljes gráf pontjainak száma egy növekvő számtani sorozat három egymást követő tagja. Igazolja, hogy a három gráf éleinek száma ekkor nem lehet egy szám- tani sorozat három egymást követő tagja! (Teljes gráf: olyan egyszerű gráf, melynek bármely két pontja között van él.)

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 2611

a) Az A és C kijelentések logikai értéke igaz, a B kijelentés logikai értéke hamis. Határozza meg az alábbi állítások logikai értékét! (Válaszait itt nem szükséges indokolnia.) (1) A B (2) (A B) C (3) B A (4) A B (5) A (B C) A H halmaz a tízpontú egyszerű gráfok halmaza. A következő állítás a H elemeire vonat- kozik: Ha egy (tízpontú egyszerű) gráfnak legfeljebb 8 éle van, akkor nem tartalmaz kört. b) Döntse el, hogy az állítás igaz vagy hamis! Válaszát indokolja! c) Fogalmazza meg az állítás megfordítását a H elemeire vonatkozóan, és döntse el a megfordított állításról, hogy igaz vagy hamis! Válaszát indokolja! Egy tízpontú teljes gráf élei közül véletlenszerűen kiválasztunk három különbözőt. (Teljes gráf: olyan egyszerű gráf, melynek bármely két pontja között van él.) d) Határozza meg annak a valószínűségét, hogy a három kiválasztott él a gráfnak egy körét alkotja!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4323

Több település közötti legkisebb költségű vezetékhálózat tervezésekor először egy teljes gráfot készítettek. Ebben a gráfban minden települést a gráf egy csúcsával, minden ve- zetékes kapcsolatot a gráf egy-egy élével jelöltek, majd a gráf minden élére ráírták, hogy mennyibe kerülne az adott kapcsolat kiépítése. Ezután egyesével kitörölték a költséges éleket úgy, hogy a törlés után megmaradó gráf összefüggő maradjon. A teljes gráf élei kétharmadának törlése után végül egy (a legkisebb költségű hálózatot megadó) fagráfot kaptak. a) Hány település szerepelt a tervben? Az őszi kispályás labdarúgó bajnokságban 10 település egy-egy csapata vett részt. Min- den csapat egy mérkőzést játszott mindegyik másik csapattal minden mérkőzés győztese 3, vesztese 0 pontot kapott, döntetlen esetén mindkét csapatnak 1-1 pont járt. A bajnokság végén a 10 csapatnak összesen 130 pontja volt. b) Hány mérkőzés végződött döntetlenre?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8952

Egy szabályos tízszög legrövidebb átlója 6 cm hosszú. a) Határozza meg a tízszög oldalának hosszát! Legyen G egy tízpontú egyszerű gráf, melynek összesen 6 éle van. b) Igaz-e, hogy G csúcsai közt biztosan van legalább két olyan, amelynek a fokszáma legalább 2? Válaszát indokolja! Egy n pontú teljes gráf egyik élét pirosra színeztük (n 3). Ezután a többi él közül vélet- lenszerűen kiválasztunk egyet. Legyen az A esemény az, hogy a kiválasztott élnek és a pirosra színezett élnek van közös csúcsa, a B esemény pedig az, hogy nincs közös csú- csuk. c) Ha az A és a B esemény egyenlő valószínűségű, akkor hány pontja van a gráfnak?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 9001

a) Két pozitív egész szám relatív prím, legkisebb közös többszörösük 35 700. Határozza meg az ilyen tulajdonságú számpárok számát! (Az (a, b) és a (b, a) számpárokat nem tekintjük különbözőknek.) b) Legyen H = {1 2 3 4 5 6 7 8 9 10}. Hány olyan részhalmaza van H-nak, amelyben az elemek szorzata osztható 9-cel? (Egyelemű halmaz esetén az elemek szorzatának az egyetlen elem értékét tekintjük.) c) Egy papírlapon adott öt pont. A pontok mellé egy-egy pozitív egész számot írunk. Az adott pontok legyenek egy olyan ötpontú egyszerű gráf csúcsai, amelynek két csúcsa pontosan akkor van éllel összekötve, ha a csúcsok mellé írt számok közül az egyik többszöröse a másiknak. Az alábbi három ábra mindegyikén 5-5 pont látható. Írjon mindhárom ábrán az 5 pont mellé különböző pozitív egész számokat, majd rajzolja meg a fenti szabály szerint a gráf éleit úgy, hogy az első esetben egy teljes gráfot, a második esetben egy fagráfot, a harmadik esetben pedig egy üres gráfot kapjon (az üres gráfnak egyetlen éle sincsen)!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10281

Egy k és egy 2k pontú teljes gráfnak összesen 697 éle van. a) Határozza meg k értékét! Egy kispályás labdarúgó-bajnokságban hat csapat körmérkőzést játszik egymással: mindegyik csapat játszik mindegyik másikkal egy-egy mérkőzést. A bajnokság megkezdése előtt a szervezők a mérkőzések közül kisorsolnak hármat, és ezeken a mérkőzéseken doppingellenőrzést tartanak. b) Határozza meg annak a valószínűségét, hogy lesz olyan csapat, amelyik mindhárom kisorsolt mérkőzésen szerepel! Egy mérkőzés előtt az öltözőben hatan vannak, akik közül néhányan már kezet fogtak egymással. Mind a hat embertől megkérdeztük, hogy eddig hány másik emberrel fogott kezet. A válaszok között van öt különböző érték. c) Hány kézfogás történhetett eddig összesen?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10918

Legyen G egy ötpontú fagráf. a) Lehetséges-e, hogy ekkor G komplementere is fagráf? Egy hatpontú teljes gráf pontjait megszámozzuk 1-től 6-ig. A gráf éleit ezután zöldre vagy pirosra színezzük a következő szabály szerint: két pontot összekötő él zöld lesz, ha a két ponthoz írt számok közül az egyik osztója a másiknak, egyébként pedig piros. A gráf pontjai közül véletlenszerűen kiválasztunk hármat. b) Határozza meg annak a valószínűségét, hogy a kiválasztott három pontot összekötő három él azonos színű! Egy dobozban 3 zöld és 3 piros golyó van. A dobozból csukott szemmel, visszatevés nélkül addig húzunk egymás után golyókat, amíg vagy a zöld vagy a piros golyók közül kihúzzuk mind a hármat. c) Határozza meg a szükséges húzások számának várható értékét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 11498